Nedelja, 16. 10. 2016, 12.56
7 let, 2 meseca
Kakšne so možnosti, da isto molekulo vode popijemo dvakrat?
Naslednjič, ko si boste nalili kozarec vode, pomislite na tole
Termometer prikazuje, kako vroč je članek.
Termometer prikaže, kako vroč je članek.
5,45
1
Kakšna je verjetnost, da isto molekulo vode popijemo dvakrat? Kratek odgovor: pri molekulah vode, ki smo jih enkrat že popili, je verjetnost, da se to zgodi, praktično stoodstotna.
Daljši odgovor:
Pri takšnih izračunih verjetnosti je treba v zakup vzeti dejstvo, da uporabljamo res velika števila. Večje ko je število, več je možnosti, da čisto majcena verjetnost, da se bo nekaj zgodilo, postane gotovost.
Poglejmo nekaj velikih števil, ki so pomembna v našem primeru.
Eno je število vseh molekul vode na Zemlji. Po oceni znanstvenikov jih je okrog 1046. To je enica, ki ji sledi 46 ničel.
Če to povemo preprosteje – na Zemlji je okrog 1021 litrov (v resnici malce več, 1,4 x 1021, a ne bomo zapletali po nepotrebnem, ker bo končni rezultat praktično isti) vode. To je 1024 gramov vode (en gram – en mililiter, tisoč mililitrov – en liter).
Molekulo vode sestavljajo atom kisika (rdeča kroglica) in dva atoma vodika (beli kroglici). Na Zemlji je po ocenah znanstvenikov okrog 1.046 molekul vode. V to oceno spadajo molekule v vseh morjih, oceanih, rekah in jezerih, pa tudi v živih bitjih.
V kozarcu vode s prostornino dva decilitra je okrog 2 x 1024 molekul vode (ali samo 1024, če vzamemo en deciliter oziroma sto gramov vode).
Kaj lahko s temi števili zdaj storimo?
Paradoks rojstnega dne
Kot smo že omenili, je vseh molekul vode na svetu okrog 1046. Iz te količine s kozarcem vzamemo naključnih 1024 molekul, kar je en deciliter vode, ga zmešamo nazaj in postopek ponovimo še enkrat. Kolikšna je verjetnost, da vsaj eno od 1024 molekul vode (to je eno od 1.000.000.000.000.000.000.000.000) v kozarec dobimo dvakrat?
Uporabimo lahko izračun za računanje verjetnosti, ki se pojavlja pri rojstnodnevnem problemu oziroma paradoksu rojstnega dne. Ta določa, kakšna je verjetnost, da si dve osebi v skupini ljudi (kjer je število oseb spremenljivka n) delita rojstni dan.
Paradoks rojstnega dne – če je v skupini 367 ljudi, je verjetnost, da si dve delita rojstni dan, stoodstotna, saj je dni v letu največ 366. A 99,9-odstotna verjetnost je dosežena že pri skupini samo 70 ljudi, 50-odstotna pa pri le 23 osebah. Končni rezultat namreč temelji na tem, da ima vsak dan v letu enake možnosti, da takrat rojstni dan praznuje ena od oseb v skupini. Izjema je seveda 29. februar, ki se ponovi le enkrat na vsaka štiri leta.
Ena od najbolj preprostih različic zgornjega računa gre takole: P = 1 – e–n2/2 m.
P je v tem primeru verjetnost oziroma končni rezultat, e je matematična konstanta, ki se imenuje tudi Eulerjevo število, znaša pa okrog 2,718, n je število molekul vode v enem decilitru vode, m pa število vseh molekul vode na Zemlji.
Končni rezultat oziroma P je zelo zelo blizu vrednosti ena. To pomeni, da se bo ista molekula vode skoraj zagotovo, praktično nemogoče je, da se ne bi, pojavila v obeh kozarcih vode.
Iz našega izračuna lahko izvzamemo molekule vode, ki jih najbrž nikoli ne bo spil nihče, kot so tiste na dnu oceanov. Zanje je možnost, da bi jih popili dvakrat, zanemarljiva, praktično nična. A ker delamo s tako velikimi števili, bo končni rezultat kljub izvzemu tega kar velikega deleža molekul še vedno zelo blizu ena.
V razmislek
Zares velika števila so v tem primeru impresivna zato, ker nam ponudijo nov pogled na stvari, ki so del našega vsakdana. Kot pitje vode, na primer.
Zgornji izračun verjetnosti se namreč ne nanaša le na pitno vodo, ki si jo nalivamo v kozarec, temveč na vse molekule vode na Zemlji in vse atome, ki te molekule sestavljajo oziroma so jih sestavljali nekoč.
Vidite tisto steklenico gazirane pijače, ki jo imate na mizi? Obstaja ne le velika verjetnost, da so v njej molekule vode, ki jo je pred časom polulal nekdo drug, temveč tudi velika verjetnost, da so v njej atomi, ki so bili nekoč v telesih vseh ljudi, ki so kdajkoli živeli.
Verjetnost za pitje istih molekul vode je visoka tudi zato, ker so viri pitne vode večinoma lokalni. Omenili nismo dihanja, ki vpliva na zvišanje verjetnosti, da bomo eno molekulo vode skozi naše telo pognali večkrat. Pri dihanju v našo okolico pršimo vodno paro – znajde se lahko v kozarcu, iz katerega pijemo, na primer.
Če vas zanima znanost, preberite tudi:
Kdaj bo konec sveta?
Kdo dela luknje v naše oblake?
Naslednjič, ko boste jezni na ves svet, pomislite na to fotografijo
Redke zgodovinske fotografije, ki jih še niste videli
Velika novica za vse, ki jih zanima vesolje
Kdo je zakuhal 11. september? Bin Laden, Bush, ljudje-kuščarji?
Bi lahko videli dinozavre, če bi Zemljo pogledali zelo od daleč?
Bi preživeli skok z mosta na Krk?
Deset dejstev o vesolju, ki jim je težko verjeti #fotozgodba
Zakaj bi morali vsi lulati pod prho
Sedem matematičnih zanimivosti, ki vas jih v šoli niso naučili
Če nafto skurimo do zadnje kaplje, bo Zemlja postala pekel
Razčistimo za vedno: Je Coca-Cola brez sladkorja res slabša od navadne?
Mož, ki je svet rešil pred tretjo svetovno vojno
Fizikalni pojav, ki ste ga zagotovo že opazili
Kako v jedrski elektrarni nastaja elektrika?
Zanimivosti o Zemlji, ki jih morda niste vedeli #fotozgodba
Vsi ga poznajo, koliko pa jih ve, kako in zakaj nastane?
1